個人情報（名前・電話番号・電子メールアドレス）を、ユーザーの同意の下クラウドサーバーで管理するのは、各国の法規制上問題ないでしょうか？

サービスを展開している各国の法規制上は問題ありません。

個人情報の管理は大丈夫でしょうか？

データベースを暗号化しています。加えてデータベースへのアクセスは限定し、かつセキュアなデータセンタで管理しています。